椭圆面积公式、椭圆面积公式推导定积分

以下是关于椭圆面积公式、椭圆面积公式推导定积分的介绍

简介:椭圆面积公式及其推导椭圆是一种常见的平面几何图形，其形状介于圆和矩形之间。椭圆的面积公式是一种用来计算椭圆面积的公式。我们将介绍椭圆面积公式，并推导出该公式的定积分形式。让我们回顾一下椭圆的定义。椭圆...

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原创作者：职业学校招生网

视频标题：椭圆面积公式、椭圆面积公式推导定积分

发布时间：2023-08-31 19:04:28

文章正文开始：

椭圆面积公式及其推导

椭圆是一种常见的平面几何图形，其形状介于圆和矩形之间。椭圆的面积公式是一种用来计算椭圆面积的公式。我们将介绍椭圆面积公式，并推导出该公式的定积分形式。

让我们回顾一下椭圆的定义。椭圆是平面上的一个几何图形，其特点是到两个固定点（称为焦点）的距离之和是常数。这两个焦点的连线称为主轴，主轴的一半长度称为半长轴（a），垂直于主轴的线段称为次轴，次轴的一半长度称为半短轴（b）。椭圆的离心率（e）定义为焦点到圆心的距离与半长轴的比值。

接下来，我们将推导椭圆的面积公式。

设椭圆的方程为

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

为了方便计算，我们可以将椭圆的方程转化为参数方程形式。设

\[

\begin{cases}

x=a\cos\theta\\

y=b\sin\theta

\end{cases}

\]

其中，θ为参数。

现在，我们来计算椭圆的面积。

将参数方程代入椭圆的方程中，得到

\[\frac{(a\cos\theta)^2}{a^2}+\frac{(b\sin\theta)^2}{b^2}=1\]

化简得

\[\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\]

由三角恒等式可知，上式恒成立。参数方程给出的曲线确实是一个椭圆。

接下来，我们来计算椭圆的面积。

椭圆的面积可以通过计算椭圆内部的曲线围成的区域的面积来确定。我们可以使用定积分来计算这个面积。

考虑椭圆的上半部分，其参数范围为0到π。椭圆上任意一点的面积元素为dA，其计算公式为

\[dA=ydx\]

代入参数方程可得

\[dA=b\sin\theta(a\cos\theta)'d\theta\]

对椭圆的上半部分进行积分，得到椭圆的面积为

\[A=\int_0^\pi b\sin\theta(a\cos\theta)'d\theta\]

化简得

\[A=ab\int_0^\pi \sin\theta\cos\theta d\theta\]

利用三角恒等式，我们可以将上式化简为

\[A=ab\int_0^\pi \frac{\sin2\theta}{2} d\theta\]

进一步化简得

\[A=\frac{ab}{2}\int_0^\pi \sin2\theta d\theta\]

利用积分的性质，我们可以将上式继续化简为

\[A=\frac{ab}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos2\theta\right]_0^\pi\]

将上限和下限代入，得到

\[A=\frac{ab}{2}\left(-\frac{1}{2}\cos2\pi+\frac{1}{2}\cos0\right)\]

化简得

\[A=\frac{ab}{2}\left(-\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\right)\]

最终得到

\[A=\frac{ab}{2}\]

我们推导出了椭圆的面积公式：椭圆的面积等于半长轴与半短轴的乘积的一半。

椭圆面积公式的推导过程中，我们使用了参数方程和定积分的方法，通过将椭圆的方程转化为参数方程，并计算参数范围内的曲线面积，最终得到了椭圆的面积公式。这个公式在计算椭圆面积时非常实用。

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